Мэрилин вос Савант (Marilyn vos Savant) была явным вундеркиндом. Она появилась на свет в 1946 году в Сент-Луисе (штат Миссури), и еще в раннем детстве стало очевидно, что девочка обладает незаурядными способностями. В 10 лет Мэрилин прошла свой первый тест на уровень интеллекта (тест Стэнфорда-Бине), показав впечатляющий результат в 228 баллов.
В 1986 году она получила всемирную известность, войдя в книгу рекордов Гиннесса в качестве обладательницы самого высокого IQ на планете. Впрочем, сама вос Савант выражала серьезные сомнения по поводу объективности тестов на уровень интеллекта.
Так или иначе, в середине 80-х годов обладательница звания «самой умной женщины в мире» отправилась в Нью-Йорк, чтобы испытать себя на писательском поприще. И ей сразу улыбнулась удача: когда Parade Magazine опубликовал заметку о Мэрилин, редакцию накрыла волна писем от читателей, и журнал сразу предложил вос Савант работу на полную ставку.
Вскоре на страницах издания появилась еженедельная рубрика «Ask Merilyn» («Спросите Мерилин»). В ней вос Савант отвечала (и по сей день продолжает отвечать) на фундаментальные вопросы из области логики. Обсуждение одного из таких вопросов приобрело поистине впечатляющий размах.
В очередном номере Parade Magazine Мэрилин ответила на вопрос читателя о парадоксе Монти Холла (который в то время еще не был широко известен). Хотя данный ею ответ был верен, но многие думали иначе. Мэрилин получила более 10 000 писем (в том числе и от именитых ученых) с указанием на ее абсолютную некомпетентность.
Парадокс Монти Холла: краткая история
Представьте, что вы являетесь участником телевикторины. Ведущий демонстрирует вам три закрытых двери и сообщает: «За одной из этих дверей находится автомобиль, за двумя другими — козы».
Ведущий просит вас выбрать одну из дверей, и вы выбираете дверь № 1. После этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает дверь № 3, показывая вам одну из коз. Затем он спрашивает, не желаете ли вы изменить свое решение и выбрать вместо двери № 1 дверь № 2. Как вам следует поступить в данной ситуации: изменить принятое ранее решение или оставить его в силе?
Если вы считаете, что статистически оба варианта одинаково выгодны, вы не правы (конечно, при условии, что вы предпочли бы получить автомобиль, а не козу).
Описанная выше задача получила известность как парадокс Монти Холла (название было дано в честь ведущего американского телешоу «Let’s Make a Deal»). Внешняя простота этой задачи не мешала ей становиться камнем преткновения для преподавателей Массачусетского технологического института и лауреатов стипендии Мак-Артура. В течение нескольких десятилетий парадокс Монти Холла являлся одним из самых обсуждаемых вопросов, связанных с теорией вероятностей.
Здесь стоит отметить, что похожие задачи занимали умы математиков и раньше. Так, например, в 1889 году Жозеф Бертран (Joseph Bertrand) описал так называемый парадокс коробок (box paradox):
«Имеются три коробки. В одной из них находятся две золотых монеты. В другой — две серебряных. Последняя коробка содержит в себе одну золотую и одну серебряную монету. Участник эксперимента вытаскивает из случайной коробки одну монету, и та оказывается золотой. Какова вероятность того, что вторая монета в этой коробке также окажется золотой?»
Бертран сумел прийти к выводу, что вероятность данного события равна ⅔. «Задача трех узников», опубликованная в 1959 году американским математиком Мартином Гарднером (Martin Gardner), также имеют общую природу с парадоксом Монти Холла. «Теория вероятностей чаще любой другой области математической науки подкидывает признанным экспертам по-настоящему непростые вопросы», — писал Гарднер.
Впервые парадокс Монти Холла был упомянут в письме, которое в 1975 году отправил в редакцию журнала The American Statistician профессор Калифорнийского университета в Беркли Стив Селвин (Steve Selvin). В этом письме указывалось на то, что изменив свой выбор, участник викторины может увеличить вероятность получения автомобиля до ⅔, а оставив решение неизменным, он получит шансы на выигрыш, равные ⅓.
В течение следующего десятилетия задача появлялась на страницах еще нескольких изданий. Поскольку никто не ставил под сомнение выводы Стива Селвина, парадокс Монти Холла не привлекал широкого внимания. Но в 1990 году все изменилось.
Разгром Мэрилин вос Савант
В сентябре 1990 года Мэрилин получила от читателя письмо, в котором была приведена одна из формулировок парадокса Монти Холла:
«Предположим, вы участвуете в телевикторине, и вам предлагают выбрать одну из трех дверей. За одной из них находится автомобиль, а за двумя другими — козы. Вы выбираете дверь № 1, и ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает дверь № 3, демонстрируя вам одну из коз. Ведущий говорит вам: «Вы хотите изменить свое решение и выбрать дверь № 2?» В ваших интересах изменить решение, верно?»
«Да, — ответила Мэрилин — смена двери даст шансы на победу ⅔, в то время как оставив решение неизменным, вы получите вероятность один к трем».
Впрочем, многих такой ответ категорически не устраивал. Мэрилин получила больше 10 000 гневных писем (в том числе от заместителя директора Центра оборонной информации и от исследователя из Министерства здравоохранения), выдержанных примерно в одном стиле:
«Вы глубоко заблуждаетесь! Поскольку вы, по всей видимости, не улавливаете, как это работает, я объясню. После того, как ведущий показал козу, ваши шансы на выигрыш равняются 50%. И не важно, измените вы свой выбор или нет.
В нашей стране и так достаточно математической неграмотности, и нам не нужен человек с самым высоким в мире IQ, усугубляющий ситуацию еще больше. Позор!»
Скотт Смит, доктор философии, Университет Флориды
«Я могу надеяться, что вы почитаете учебник по теории вероятностей, прежде чем попытаетесь ответить на подобный вопрос в будущем?»
Чарльз Рид, доктор философии, Университет Флориды
«Я уверен, вы получите много писем по этой теме от учеников средней школы и студентов. Возможно, вам стоит сохранить несколько обратных адресов, чтобы в следующий раз иметь возможность получить справку».
Роберт Смит, доктор философии, Университет штата Джорджия
«Вы дали неверный ответ на вопрос о телевикторине, и я надеюсь, эта ошибка поможет привлечь внимание общественности к национальному кризису в математическом образовании. Признав, что были неправы, вы поспособствовали бы поиску выхода из сложившейся ситуации. Сколько сердитых математиков нужно, чтобы заставить вас поменять точку зрения?»
Рэй Бобо, доктор философии, Джорджтаунский университет
«Вы допустили ошибку, но посмотрите на это с другой стороны: если бы неправы были все те доктора философии, что пишут вам, можно было бы констатировать, что у нашей страны большие проблемы».
Эверетт Харман, доктор философии, Научно-исследовательский институт армии США
«Коза — это вы!»
Гленн Калкинс, Western State College
«Возможно, женщины просто смотрят на математические вопросы не так, как мужчины».
Дон Эдвардс, Санривер (штат Орегон)
В трех следующих номерах журнала рубрика Мэрилин была посвящена объяснению данного ею ответа. Впрочем, некоторых людей было практически невозможно переубедить. «Я все еще уверен, что вы неправы. Существует такая вещь, как женская логика», — написал Мэрилин один из читателей почти год спустя.
Разрешение парадокса Монти Холла
После того, как ведущий открыл дверь № 3, вы должны выбрать одну из двух оставшихся дверей. Здесь многие люди могли бы подумать, что независимо от их решения вероятность получить автомобиль составит 50%. Но это не так.
«Шанс на то, что автомобиль находится за выбранной вами изначально дверью, не может увеличиться с ⅓ до ⅔ просто потому, что ведущий открыл одну из неправильных дверей», — пишет вос Савант.
Убедиться в том, что меняя свое решение, вы действительно увеличиваете вероятность победы с 33,3% до 66,6%, достаточно просто. Для этого достаточно рассмотреть все шесть возможных исходов:
Еще один способ заключается в том, чтобы рассмотреть все сценарии со сменой двери. Как вы видите, в 6 из 9 случаев изменение решения позволяет получить автомобиль:
Необходимость смены двери идет вразрез с вашими представлениями о вероятностях?
Советуем вам поступить следующим образом: представьте, что ведущий телевикторины предложил вам на выбор не 3, а 100 дверей, за 99-ю из которых находятся козы. Вы выбираете дверь № 1, и ваши шансы на получения автомобиля теперь равны 1%:
Ведущий открывает 98 дверей, за каждой из которых находится коза. После этого он спрашивает у вас, не хотите ли вы вместо двери № 1 выбрать дверь № 100:
Вероятность того, что автомобиль находится не за дверью № 1, все еще равняется 99%. Однако поскольку двери со 2-й по 99-ю открыты (и за ними автомобиля нет), эти 99% полностью переносятся на дверь № 100. Таким образом, отказавшись менять свое решение, вы будете иметь всего 1 % на победу.
Впрочем, несмотря на то, что математически выводы Мэрилин вос Савант абсолютно верны, стоит рассмотреть фактор, которые она не принимала во внимание.
Психологическая сторона вопроса
В 1992 году ведущий телешоу «Let’s Make a Deal» Монти Холл в своем интервью New York Times отметил, что описанный в Parade Magazine сценарий не учитывал некоторые факты. В частности, он уточнил, что имел возможность предлагать участникам деньги за отказ от смены двери.
Монти Холл:
«Я, как ведущий, имел возможность влиять на ход игры. К примеру, я мог предложить людям деньги за отказ от изменения решения, тем самым подтолкнув их к мысли, что автомобиль находится не за той дверью, что они выбрали изначально. Таким образом, психологический фактор оказывал серьезное влияние на участников игры».
Возникшая вокруг Мэрилин вос Савант ситуация иллюстрирует типичную модель человеческого поведения. Столкнувшись с противоречащей его мировоззрению информацией (например, об увеличении шансов на выигрыш автомобиля при смене двери), человек зачастую отказывается воспринимать ее. Он объединяется с теми, кто придерживается аналогичной (пусть, нередко, и маргинальной) точки зрения, и всеми силами старается противостоять инакомыслящим.
Парадокс Монти Холла по сей день вызывает немало дискуссий. В большинстве случаев обсуждения касаются поведения ведущего.
«Строго говоря, парадокс Монти Холла не может быть однозначно разрешен, если мы не знаем, какова мотивация ведущего викторины», — говорит профессор статистики из Стэндфордского университета Перси Диаконис (Persi Diaconis).
Но, так или иначе, большинство оппонентов Мэрилин вос Савант в итоге признали свою ошибку. Компьютерное моделирование позволило получить дополнительное подтверждение ее выводов. К 1992 году доля согласных с Мэрилин читателей с 8% увеличилась до 56%. В академической среде данный показатель вырос с 35% до 71%.
К лагерю сторонников вос Савант присоединился и доктор философии, обвинявший ее в непонимании прописных истин. Осознав свою ошибку и желая наказать себя, он отправил Мэрилин еще одно письмо, в котором поклялся отвечать всем, кто будет критиковать его самого.
Высоких вам конверсий!
По материалам: priceonomics.com, image source: marilynvossavant.com