В прошлом посте “занимательная статистика: от 1 и до 1 000 000” мы начали с 1 и постепенно добрались до 1 000 000, представляя числа в виде множества точек. Было здорово, но время развлечений прошло. Теперь все будет по-взрослому. Начнем с пока обозримых степеней числа 10.
Степени числа 10
С числами от 1 до 1 000 000 степени не требовались: эти числа состояли из нескольких цифр, для умножения на 10 достаточно было добавить 0. Однако после миллиона нули множатся, как грибы после дождя, поэтому нам понадобится другая система обозначений — степени.
Безумие, которое начнет из-за них происходить, называется экспоненциальным ростом. Например: результат умножения 9 845 625 675,438 на 8 372 745 993 275 будет все еще меньше 829.
Когда речь заходит о по-настоящему гигантских числах, не менее значимым становится количество цифр в них. Для сокращения мы решили использовать степени числа 10, поскольку, к примеру, любое 70-значное число находится в промежутке между 1070и 1071, чего вполне достаточно для его обозначения.
К тому же так наглядно демонстрируется порядок величины чисел: каждая единица в значении степени увеличивает число в ее основании в 10 раз. Итак, начнем с того числа, на котором закончили в прошлый раз:
106 (1 миллион — 1,000,000)— Количество точек на той огромной картинке в конце предыдущего поста о цифрах. В зависимости от разрешения вашего монитора ее площадь составит около 0,81 м2
107 (10 миллионов)— В этом диапазоне находится число шагов, которое потребуется сделать, чтобы обойти вокруг Земли (40,000,000 шагов). Если каждый шаг представить в виде точки, как мы делали в прошлом посте, то все эти точки заполнят квадрат со стороной 6 метров.
108 (100 миллионов) — В категории сотен миллионов присутствует число книг, напечатанных за всю историю человечества (130 млн), и среднее количество слов, сказанных человеком в течение жизни (860 млн). В этой же области находятся шансы на выигрыш в крупные лотереи. Вероятность выигрыша в недавнем тираже американской лотереи Mega Millions равнялись 1 к 175,711,536. Во временной перспективе это число примерно равно количеству секунд в шести годах. Это как, зная, что ежик чихнет в ближайшие шесть лет всего один раз, поставить свои кровно заработанные на какую-то конкретную секунду — скажем, на 02:52:36 19 марта 2017 года.
И выиграть только в случае, если в эту самую секунду ему и случится чихнуть. Ну, вы поняли про лотереи.
109 (1 миллиард — 1,000,000,000)— Среди единиц миллиардов мы найдем число секунд в столетии (около 3,000,000,000), количество людей на планете (7,125,000,000). Миллиард точек покроет площадь двух баскетбольных площадок.
1010 (10 миллиардов)— Здесь соседствуют интересные числа: количество лет с момента Большого взрыва (13,7 млрд) и количество секунд с момента появления Христа (60 млрд).
1011 (100 миллиардов)— Количество звезд Млечного пути и число галактик в наблюдаемой вселенной (100-400 млрд). Так что случись компьютеру перечислять видимые галактики по одной в секунду с момента появления Христа, он и сейчас был бы далек от окончания списка.
1012 (1 триллион — 1,000,000,000,000)— Миллион миллионов. Отметка на шкале весов в фунтах, если поставить на них всех живущих (~1 трлн), время существования человечества в секундах (~100,000 лет = ~3 трлн секунд) и превышающее сумму двух предыдущих количество миль в одном световом годе (6 трлн). Триллион — это настолько много, что потребуется всего 4 триллиона миллиметров ленты, чтобы завязать бантик вокруг солнца.
1013 (10 триллионов)— Пожалуй, это одно из самых больших чисел, которое можно услышать в обычном разговоре — например, номинальный ВВП США в 2013 году составил 17 триллионов, а текущий долг — почти 18 триллионов. Оба этих числа теряются на фоне количества клеток в человеческом теле (37 трлн).
1014 (100 триллионов)— Примерно столько букв содержится во всех напечатанных книгах, и оно же равно числу бактерий в человеческом организме. Также в диапазоне сотен миллиардов находятся все деньги мира ($241 трлн, как уже упоминалось в предыдущем посте о цифрах).
1015 (1 квадриллион) — Ну вот, прощайте, нормальные слова. «Миллион», «биллион» и даже «триллион» часто употребляемы. Но никто не говорит «квадриллион». Иногда вместо него употребляют «миллион миллиардов». Как бы его ни называли, на Земле водится квадриллион муравьев. Сопоставив это число и предыдущий факт о бактериях, получим весьма яркий, хоть и несимпатичный образ — каждый десятый муравей планеты бегает внутри вашего тела.
1016 (10 квадриллионов) — Количество игральных карт, которыми можно покрыть поверхность планеты (89 квадриллионов). От такого количества сброшенных карт ваши партнеры по бриджу будут вне себя.
1017 (100 квадриллионов) — Число секунд с момента Большого Взрыва.
1018 (1 квинтиллион) — Aka миллиард миллиардов. Квинтиллион звучит еще более несуразно, чем квадриллион. Это слово можно услышать только от человека с серьезными проблемами с социализацией. И тем не менее, это вся вода мирового океана в кубометрах и число атомов в одной крупице соли (1,2 квинтиллиона). Песчинок на всех пляжах мира 7,5 квинтиллионов. Столько же, сколько атомов в 6 крупицах соли.
1019 (10 квинтиллионов)— Расстояние в миллиметрах от вашего компьютера до ближайшей звезды (38 квинтиллионов).
1020 (100 квинтиллионов)— Столько метровых шагов потребуется, чтобы пройти весь Млечный путь.
Вы знакомы с понятием «объем Планка»? Это наименьшая единица объема, используемая учеными. Настолько маленькая, что 100 квинтиллионов объема Планка не превышают размера протона(!). Подробнее об этой единице измерения мы поговорим позже. Кстати, о точках: картинкой с 600 квинтиллионами точек можно полностью покрыть поверхность Земли.
1021 (1 секстиллион) — Это уже находится полностью вне лексикона. Вы когда-нибудь слышали это слово, произнесенным вслух? Может, это и неплохо?
1023 (100 секстиллионов) — По самым приблизительным оценкам, число звезд в наблюдаемой вселенной. Также это число встречалось нам в школе на уроках физики: 602 секстиллиона или 6,02 x 1023— число Авогадро, молярный объем газа. А еще это количество атомов в одном грамме водорода.
1024 (1 септиллион)— Триллион триллионов. Земля весит около 6 септиллионов килограмм.
1025 (10 септиллионов)— Число капель воды в Мировом океане.
1027 (1 октиллион)— Если бы Земля была полым шаром, 1 октиллион горошинок заполнил бы его полностью.
А теперь нас ждет гигантский скачок туда, где размеры нашей планеты станут просто крошечными , а Большой Взрыв — самый частый участник событий. Уровень этих чисел демонстрирует только сама наблюдаемая вселенная — сфера диаметром около 92 миллиардов световых лет.
1080— Чтобы получить 1080, умножьте триллион на триллион, потом еще на триллион, потом ещё раз, ещё и ещё, а затем на сто миллионов. И вот перед вами общая оценка числа атомов во вселенной.
1086— А как насчет набить вселенную горохом? Для этого потребуется 1086горошин.
1090— А это количество песчинок среднего размера (0,5 мм в диаметре), которое заполнит вселенную целиком.
Гугол — 10100
Название «гугол» появилось в 1938 году, когда одним прекрасным днем американский математик Эдвард Казнер попросил своего 9-летнего племянника Милтона придумать имя для числа 10100— единицы со ста нулями. Малыш предложил «гугол». Казнер, вероятно, счел этот ответ разумным, согласился, да так его и оставили.
59 лет спустя Сергей Брин и Ларри Пейдж дали такое же имя своей новой поисковой системе. Они хотели подчеркнуть колоссальность объемов информации, с которыми она будет работать. А ошибка в написании названия была допущена случайно (английское название гугола — googol — прим. переводчика).
Гугол — это сколько?
Вновь представьте вселенную, заполненную песчинками — десятки миллиардов световых лет от Земли в любом направлении — повсюду песок. Триллионы лет можно лететь на полной скорости через весь этот песок и так и не достичь края. Много, очень много песка. Теперь представьте, что остановив корабль, достаете одну из песчинок и рассматриваете её под микроскопом. И в многократном увеличении видите, это не целая песчинка, а 10 миллиардов микроcкопических гранул,составляющих эту песчинку. Так вот, если представить, что каждая из песчинок, заполнивших вселенную состоит из 10 миллиардов крошечных частиц, то суммарное число микроскопических частиц и будет гугол.
Мы уже, казалось бы, использовали все мельчайшие и колоссально большие примеры из физического мира для демонстрации чисел. Хотя нет, вот еще три:
10113— Число атомов водорода, которыми можно заполнить вселенную.
10122— Число протонов, которыми также можно заполнить вселенную целиком. Если вдруг у вас закончится водород.
10185— Вернемся к объему Планка (мельчайшая единица объема). Сколько этих мельчайших единиц может поместиться в грандиознейшем объеме — наблюдаемой вселенной? 10185. И в этом примере мы абсолютно точно достигли малого и большого экстремумов физического мира.
Гуголплекс — 10гугол
После популяризации гугола, Казнер едва ли мог удержаться и не повторить этот фокус — он попросил племянника выдумать новый термин. Он едва успел закончить просьбу, как Милтон выпалил: «гуголплекс». И в характерной для ребенка манере описал это число как «единицу, после которой пишете нули, пока не надоест». С этим описанием Казнер, к счастью, не согласился и дал числу настоящее определение: 10гуголили 1 с гуголом нулей. С написанным полностью показателем степени гуголплекс выглядит так:
1010,000,000,000,000,000,000,000,000.,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Гугол — единица со ста нулями, в десять миллиардов раз больше количества песчинок, которое заполнит вселенную. Можно ли вообразить число с гуголом нулей после единицы?
Представить это число невозможно, в наших силах лишь представить, сколько времени займет его записывание. Выше указана всего лишь степень, а собственно число — это записывание гугола нулей. Для начала стоит найти такую площадь.
Как мы помним, вселенная, доверху заполненная песком — это лишь одна десятимиллиардная гугола, значит, все, что нам осталось сделать — это, обзаведясь супермаленькой ручкой, на каждой песчинке написать 10 миллиардов микроскопических нулей. И когда мы это сделаем, гуголплекс будет записан.
Сколько это займет? По наблюдениям ученых человек способен разборчиво написать 36 нулей за 10 секунд. Исходя из этой оценки, если бы человек делал это по 16 часов каждый божий день, за 80 лет он бы исписал только половину песчинки. На целую потребуется время протяженностью в две человеческие жизни.
Всего на Земле существовало около 107 миллиардов людей. Если бы каждый из них посвятил всю свою жизнь написанию нулей на песчинках, сейчас мы бы уже наполнили песчинками с нулями куб со стороной 1,7 метра. И всё.
И все же получить представление о размере числа можно. Все возможные квантумные состояния, возникающие в пространстве, составляющем одного человека, все равно меньше гуголплекса. А означает это, что согласно теории вероятности, во вселенной объемом в гуголплекс кубических метров (пространстве исключительно огромных размеров) будут точные копии любого читающего эту статью. Дело в том, что во вселенной подобных размеров все возможные сочетания атомов в составе одного человека с большой вероятностью повторятся много раз, а значит, случится и несколько копий каждого из нас. Включая точную копию, но с кошачьими усами, или копию кукольного роста или с крыльями и шестью пальцами. И это не фантастика, это реальность огромных вселенных.
Число Грехема
Не будем приводить здесь определение числа Грехема, поскольку оно очень сложное и запутанное. Скажем лишь, что оно является верхней границей для решения определенной математической проблемы и названо в честь американского математика Рональда Грехема.
Грехем вывел это число в 1977 году, широкой публике оно стало известно после того, как коллега Грехема описал его в журнале «Scientific American» как «границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».
В 1980 году число попало в Книгу рекордов Гиннесса по той же причине, и несмотря на то, что на сегодняшний день этот рекорд побит, до сих пор остается самым большим числом, известным большому количеству людей.
Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем гугол и даже гуголплекс. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема.
Для восприятия и операций с числами такого порядка существуют специальные алгоритмы, точнее, один алгоритм: гипероператор.
Последовательность гипероператоров — это серии математических операций (например,сложение, умножение и т. д.), в которых каждая следующая операция в последовательности определяется через предыдущую, повторенную n раз.
Вы быстро все поймете. Начнем с первой и самой простой операции: счета.
Операция нулевого уровня — Счет
Последовательный счет. Простая операция.
Пример: дано число 3, для получения искомого числа перечисляется последовательность 3,4,5,6,7 и т. д.
Операция первого уровня — Сложение
Сложение — операция следующего, боле высокого уровня по сравнению со счетом, «сокращенный счет». Вместо перечисления 3,4,5,6,7, можно сложить 3+4 и перейти прямо к 7. Сложение сокращает операции счета в одно, более короткое действие.
Операция второго уровня — Умножение
Снова на уровень выше, умножение — это сокращенное сложение. Вместо перечисления 3+3+3+3 умножение позволяет сократить операции сложения до одного действия более высокого уровня умножения 3х4. Результатом умножения являются гораздо большие числа: при сложении двух 8-значных чисел суммой будет 8— или 9-значное число, а при умножении — 15— или 16-значное.
Операция третьего уровня — Возведение в степень (↑)
Следующий уровень — возведение в степень — это сокращенное умножение. Вместо перечисления 3х3х3х3 возведение в степень позволяет сократить операции умножения до одного действия — 34.
Для большинства людей возведение в степень — последний, самый высокий уровень гипероператора, который они используют. Но ключ к действительно большим числам в применении гипероператоров следующих уровней.
Для этого нам потребуется другой вид обозначений. Собственно, каждый уровень различался символом (+,х, степень), но поскольку уровней много, не стоит продолжать вводить для каждого свой символ. Мы воспользуемся стрелочной нотацией Кнута, позволяющей использовать один символ на каждом уровне.
Стрелочная нотация Кнута применяется в операциях третьего уровня и заменяет степень одной стрелкой — ↑. Таким образом, вместо обозначения 34мы используем 3 ↑ 4, но сама операция возведения в степень останется неизменной.
3 ↑ 4 = 81
2 ↑ 3 = 8
5 ↑ 5 = 3125
1 ↑ 38 = 1
Теперь двинемся дальше и, наконец, увидим волшебство гипероператоров:
Операция четвертого уровня — Тетрация (↑↑)
Тетрация — сокращенное возведение в степень. Перед тем как начать разбираться в сокращении действий в строке степени, нужно разобраться, что это строка обозначает.
Прежде мы производили одно вычисление — число в основании возводили в степень в ее показателе, а что если увеличить количество степеней:
Мы получили степенную башню, в которой возведение в степень начинается с самых верхних уровней к начальному. Таким образом, 
Пока ничего особо впечатляющего, но взгляните сюда: 
Используем скобки, чтобы выделить этапы вычисления степени:
число, содержащее 3,6 триллиона цифр.
Помните, гугол и его микроскопические частицы песка, наполнившего вселенную? Так вот это число, состоящее лишь из 100 цифр. Степенная башня из 4 уровней с основанием 3 превосходит не только гугол, но 10185, число объемов Планка во вселенной, максимальное число физического мира. Гуголплекс пока все же больше, но это легко изменить, добавив еще одну 3 в степень.
= 3 число, содержащее 3,6 триллиона цифр
Это число уже в разы больше гуголплекса, который всего лишь 10 число, содержащее 100 цифр. Кстати, с помощью степенной башни можно записать гуголплекс гораздо короче: 
или так 
Можете представить, какие гигантские числа позволяют вычислить высокие степенные башни. Тетрация в действии.
Степенные башни можно представить и с помощью стрелок Кнута, но для отличия уровней башни от одинарной степени будем использовать двойные стрелки.
равно 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3)). А теперь сократим 4 одинарные степени в выражение 3 ↑↑ 4.
Аналогично 3 ↑↑ 5 = 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3))) = 
4 ↑↑ 7 = 4 ↑ (4 ↑ (4 ↑ (4 ↑ (4 ↑ (4 ↑ 4))))) = степенная башня из 7 уровней с основанием 4.
Общее правило:
Тетрация (операция 4 уровня). Выражение a↑↑b означает степенную башню с b количеством уровней и основанием a.
Перед переходом к следующему, более сложному гипероператору убедитесь, что усвоили теорию и обозначения тетрации.
Операция пятого уровня — Пентация (↑↑↑)
Пентация — это повторяющаяся тетрация, объединяет последовательности с двумя стрелками в одну операцию.
Гипероператор каждого последующего уровня сокращает последовательность предыдущего уровня, используя термин b для обозначения длины последовательности. Например:
Умножение сокращает последовательность сложения.
Возведение сокращает последовательность умножения.
Тетрация сокращает последовательность возведения в степень.
В каждом случае a — число в основании, b — длина последовательности.
Но что же сокращает пентация? Принцип работы этого гипероператора можно описать как «безумное поглощение степенных башен».
Представьте последовательность степенных башен в определенном порядке. Все они имеют одинаковое число в основании, отличаются только количеством уровней.
Вычисляем результат первой степенной башни и подставляем его вместо значения высоты (количества уровней) для следующей башни. Затем вычисляем и ее результат и подставляем его в количество уровней следующей степенной башни. И так далее. Каждая последующая башня «поглощает» результат предыдущей, используя её результат для собственного «безумного» роста.
Вот почему это происходит:
3 ↑↑↑ 4 означает последовательность 4-х операций вида (3 ↑↑ 3). Таким образом:
3 ↑↑↑ 4 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3))
Помните, символ ↑↑ обозначает последовательность возведения в степень с количеством уровней b, следовательно
Из предыдущих вычислений вы, должно быть помните, что 
а следовательно
Таким образом результат решения первой степенной башни из 3 уровней превышает 7 триллионов. Используем этот результат как количество уровней второй степенной башни и получаем выражение (3 ↑↑ 7,625,597,484,987). Представляете, какой высоты будет башня с более чем 7 триллионами уровней степеней?
Если каждая 3 будет размером в 2 сантиметра, высота степенной башни составит 150 миллионов километров, и она дорастет до солнца. И даже если мы используем крошечные цифры 3, по 2 мм каждая, длина нашей башни 40 раз покроет расстояние до Луны и обратно. И обернет Землю 400 раз. Назовем её для краткости «башней солнца», в пером варианте она даже достает до него.
Вернемся к нашим расчетам:
=3↑↑(«башня солнца»)
Последняя операция — 3↑↑(«башня солнца») — будет представлена степенной башней с количеством уровней, которые мы узнаем лишь вычислив результат «солнечной» башни. И в высоту она уже не поместится в пределах наблюдаемой вселенной. И пока мы не вычислим результат этой последней «вневселенской» башни, мы не узнаем результат пентации 3 ↑↑↑ 4.
Пентация (использующая обозначение ↑↑↑) — это «поглощение» степенной башней результата предыдущей, при котором количество уровней в каждой последующей становится все более непостижимым, не говоря уже о конечном числе.
Пентация (операция 5 уровня). Выражение a↑↑↑b означает «безумное поглощение» степенных башен с b количеством степенных башен и основанием a.
Каждое выражение в скобках — степенная башня, результат решения которой занимает позицию b в предыдущих скобках— становится значением количества уровней для предыдущей степенной башни.
«Безумное поглощение» степенных башен. Первая башня в основании формулы имеет a уровней. Результат решения этой степенной башни «поглощается» предыдущей башней и становится количеством её уровней и т. д.
Операция шестого уровня — Гексация (↑↑↑↑)
Гипероператор шестого уровня — гексация, она же повторенная пентация. Это уже не поглощение башен, это просто праздник обжорства. Выглядит это так:
«Поглощение» башен дошло до финального числового результата. Это число становится количеством башен в следующем «поглощении», которое также в результате получает уже абсолютно невероятное число… и так далее.
3 ↑↑↑↑ 4 — пример гексации, в которую входят 3 полных ↑↑↑-пентаций-поглощений, каждая из которых сообщает своим результатом количество степенных башен в следующей:
3 ↑↑↑↑ 4 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3))
Помните, выражение 3 ↑↑↑ 3 имеет результатом «башню солнца». Таким образом:
3 ↑↑↑↑ 4 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)) = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ («башня солнца»))
Поскольку символ ↑↑↑ означает тентацию и «поглощение» башен, результат выражения 3 ↑↑↑ («башня солнца») станет число, которое протянется в пару соседних галактик. И по принципу «поглощения» это число станет количеством башен в следующей тентации. Когда будет решена и она, мы получим результат начальной гексации.
Наглядное объяснение гексации:
Гексация (операция 6 уровня).Выражение a↑↑↑↑b означает «суперпоглощение» степенных башен с b количеством степенных башен и основанием a.
Каждое выражение в скобках — пентация, «поглощение» нескольких башен, результат решения которой занимает позицию b в предыдущих скобках— становится значением количества башен для предыдущей серии «поглощений».
«Суперпоглощение». Первая пентация-«поглощение» (крайняя правая) стартует с a количества башен, результат решения станет количеством башен в следующей серии «поглощений» и т. д. Финальный результат последней серии «поглощений» станет результатом гексации.
Так, собственно, и работает серия гипероператоров. Вы можете продолжить увеличивать количество стрелок, каждый раз приумножая возможности в вычислении суперогромных чисел. Мы познакомились с семью уровнями гиперопераций, включая первые 4 со стрелками:
↑ = возведение в степень
↑↑ = степенная башня
↑↑↑ = тентация-«поглощение»
↑↑↑↑ = гексация-«суперпоглощение»
Теперь в ваших руках все необходимые инструменты, чтобы познакомиться с числом Грехема:
Число Грехема равно термину g64. До него мы еще доберемся, сначала разобравшись с числом g1.
g1 = 3 ↑↑↑↑ 3
Гексация, её мы уже знаем, ну вроде как. Приступаем к решению.
Вот как оно будет выглядеть:
Гексация g1. (b-1) — две серии «поглощений» в этой гексации. Результат вычислений этой башни станет количеством уровней в башне, расположенной выше. Башня солнца. результат вычислений этой башни станет количеством башен в левой серии «поглощений». Три точки будут заменены безумным числом башен — оно будет больше числа Планковских объемов во вселенной.
Раскладываем на составляющие g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) и получаем две тетрации-«поглощения». Начнем с первой, обведенной на рисунке красным:
g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3))
Первая серия «поглощений» состоит из двух степенных башен. Первая башня — очень простая, поскольку уровней в ней всего 3:
Мы помним, что 333 = 7,625,597,484,987, следовательно
Мы знаем, что результатом выражения (3 ↑↑ 7,625,597,484,987) будет наша «башня солнца»:
Вкратце: g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) = 3 ↑↑↑ (башня солнца)
Две первые серии «поглощений» выдали невероятно огромное число «башни солнца». Помните, прежде мы уже изучили, как быстро нарастают числа в степенной башне:
, число гораздо большее, чем гугол, будучи написанным, обернет землю пару сотен раз.
— не говоря уже о числе в степени, состоящей из 3,6 триллиона цифр. Числе, превосходящем гуголплекс, числе, записать которое не хватит места во всей наблюдаемой вселенной.
Выглядит безумно, правда?
И это только лишь несколько сантиметров «башни солнца».
А на расстоянии метра числа станут гораздо, гораздо больше, чем можно себе представить. Все лишь на расстоянии метра башни высотой в 150 миллионов километров. Результат решения степенной башни высотой до солнца можно смело называть безумным. Поскольку будучи не в состоянии осознать цифры, возникающие на первых уровнях башни, мы можем смело называть безумными те, что находятся на расстоянии в 150,000,000 км.
Вернемся к нашему решению:
g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) = 3 ↑↑↑ (башня солнца)
И заменим «башню солнца» на результат:
g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) = 3 ↑↑↑ (башня солнца) = 3 ↑↑↑ безумное число
Теперь, мы можем перейти ко второй тетрации. В ней будет безумное число башен. Это число настолько велико, что его даже не объяснить. По сравнению с ним объемы Планка во вселенной — детские забавы, гуголплекс смехотворен. И это количество степенных башен во второй тетрации.
Итак, дано безумное число башен, понемногу, одну за другой, мы будем вычислять результат и подставлять его в количество уровней следующей башни, и снова вычислять результат… И так безумное число раз. Пока наконец не дойдет до окончательной цифры, которая станет решением гексации 3 ↑↑↑↑ 3. И это число будет g1 aka просто невозможное.
Дальше надо добраться до g2. Вот как мы это сделаем:
Смотрите на схему на рисунке, пока не поймете, насколько все непросто. Теперь продолжим. Да, мы полдня продирались от одной стрелки к четырем, справляясь с трудностями каждого нового уровня, осваивая невероятные возможности каждого следующего гипероператора. И подошли к просто невозможному числу g1.
Грехем решил повторить с g2 тот же фокус, что он проделал с g1, с той лишь разницей, что вместо стрелок вместо 4 будет просто невозможному числу. «Безумное поглощение», но не башен, а стрелок. Число g1 станет количеством СТРЕЛОК в формуле g2.
Кажется, голова взорвется от следующего уровня — пяти стрелок, но в g2 их не пять, а гораздо больше, больше, чем Планковских объемов во вселенной, больше гуголплекса. И это уровень гипероператора, используемого g2. Число Грэхэма возводит в степень само понятие возведения в степень.
Разумеется, мы даже не будем пытаться вывести число g2, а без этого мы мало что можем о нем рассказать. А g3 и прочие, спросите вы. Рассчитанное до натурального число g2 станет количеством стрелок в формуле g3, результат которого в свою очередь станет основой для расчета g4 и так далее до g64.
Наглядно число Грехема выглядит так:
Высоких и измеримых вам конверсий!
По материалам: waitbutwhy.com, image source Maryam